Skip to content

Komputasi Numerik

  • by

Mata kuliah Komputasi Numerik berfokus pada metode-metode numerik untuk menyelesaikan masalah matematika yang kompleks yang sulit atau tidak mungkin diselesaikan dengan cara analitik. Topik-topik utama yang biasanya dipelajari dalam mata kuliah ini meliputi:

1. Pendahuluan Komputasi Numerik

  • Konsep Dasar Komputasi Numerik: Apa itu komputasi numerik dan peran pentingnya dalam menyelesaikan masalah teknik, sains, dan matematika.
  • Kesalahan dalam Komputasi: Kesalahan pembulatan (rounding errors), kesalahan trancendental (truncation errors), dan propagasi kesalahan.

2. Aritmatika Komputer

  • Representasi Bilangan di Komputer: Sistem bilangan biner, bilangan floating point, presisi, dan keterbatasan aritmatika komputer.
  • Pembulatan dan Truncation: Cara komputer menangani bilangan desimal dan bagaimana kesalahan tersebut mempengaruhi hasil perhitungan.

3. Solusi Numerik untuk Persamaan Linear

  • Eliminasi Gauss: Teknik untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan metode eliminasi.
  • Faktorisasi LU (Lower-Upper): Metode dekomposisi matriks untuk memudahkan penyelesaian sistem linear.
  • Metode Jacobi dan Gauss-Seidel: Metode iteratif untuk menyelesaikan sistem persamaan linear.

4. Interpolasi dan Aproksimasi

  • Interpolasi Polinomial: Menggunakan polinomial untuk memperkirakan nilai antara titik-titik data yang diketahui (metode Lagrange dan Newton).
  • Spline Cubic: Metode interpolasi menggunakan potongan-potongan polinomial derajat tiga.
  • Metode Least Squares: Teknik untuk aproksimasi data dengan mencari kurva terbaik (fitting) untuk data yang tersebar.

5. Numerik Diferensiasi dan Integrasi

  • Diferensiasi Numerik: Teknik untuk menghitung turunan fungsi secara numerik, menggunakan metode finite differences.
  • Integrasi Numerik: Teknik untuk menghitung integral dari fungsi, termasuk metode trapezoidal dan Simpson.
  • Kesalahan dalam Integrasi Numerik: Menganalisis kesalahan yang dihasilkan dalam metode integrasi numerik.

6. Solusi Numerik untuk Persamaan Non-Linear

  • Metode Bisection: Teknik iteratif untuk menemukan akar persamaan non-linear dengan membagi interval secara berulang-ulang.
  • Metode Newton-Raphson: Teknik yang lebih cepat untuk menemukan akar dengan memanfaatkan turunan fungsi.
  • Metode Secant dan False Position: Teknik lain untuk menemukan akar persamaan non-linear.

7. Solusi Numerik untuk Persamaan Diferensial Biasa (Ordinary Differential Equations, ODE)

  • Metode Euler: Metode sederhana untuk menyelesaikan ODE dengan menggunakan pendekatan numerik.
  • Metode Runge-Kutta: Metode yang lebih akurat untuk menyelesaikan ODE dengan berbagai tingkat ketelitian (misalnya, Runge-Kutta orde ke-4).
  • Metode Adams-Bashforth dan Adams-Moulton: Metode prediktor-korektor untuk menyelesaikan ODE secara numerik.

8. Sistem Persamaan Diferensial

  • Sistem ODE: Teknik untuk menyelesaikan beberapa persamaan diferensial yang saling berkaitan.
  • Metode Numerik untuk Sistem ODE: Penggunaan metode iteratif dan eksak dalam memecahkan sistem persamaan diferensial.

9. Penyelesaian Persamaan Diferensial Parsial (Partial Differential Equations, PDE)

  • Metode Finite Difference: Metode numerik untuk menyelesaikan PDE, seperti persamaan panas (heat equation) atau persamaan gelombang (wave equation).
  • Metode Finite Element: Pendekatan numerik yang digunakan dalam berbagai aplikasi teknik untuk menyelesaikan PDE yang kompleks.
  • Metode Finite Volume: Teknik untuk menyelesaikan masalah konservasi dalam fisika dan teknik.

10. Metode Optimasi

  • Pencarian Titik Minimum dan Maksimum: Teknik untuk menemukan nilai optimal dari fungsi, baik dengan derivatif maupun tanpa derivatif.
  • Metode Gradient Descent: Teknik numerik untuk mencari titik minimum dari fungsi multivariable.
  • Optimasi Non-linear: Menggunakan metode numerik untuk menyelesaikan masalah optimasi yang melibatkan fungsi non-linear.

11. Transformasi Fourier dan Analisis Frekuensi

  • Transformasi Fourier Diskrit (DFT): Digunakan untuk menganalisis sinyal dalam domain frekuensi.
  • Fast Fourier Transform (FFT): Algoritma cepat untuk menghitung DFT.
  • Aplikasi dalam Pemrosesan Sinyal: Penggunaan transformasi Fourier dalam mengolah dan menganalisis sinyal digital.

12. Metode Monte Carlo

  • Simulasi Monte Carlo: Teknik numerik yang menggunakan bilangan acak untuk menyelesaikan masalah yang melibatkan probabilitas dan statistik.
  • Pengaplikasian Monte Carlo dalam Matematika: Penggunaan dalam estimasi nilai integral, simulasi stokastik, dan optimasi.

13. Eigenvalue dan Eigenvector

  • Masalah Eigenvalue: Teknik untuk menemukan eigenvalue dan eigenvector dari matriks.
  • Aplikasi Eigenvalue: Penggunaan dalam analisis getaran, stabilitas sistem, dan pemrosesan citra.

14. Kompleksitas dan Efisiensi Algoritma Numerik

  • Analisis Kompleksitas Waktu dan Ruang: Mengukur efisiensi algoritma numerik dalam hal waktu eksekusi dan penggunaan memori.
  • Kestabilan Numerik: Mempelajari bagaimana kesalahan kecil dalam input atau perhitungan dapat mempengaruhi hasil akhir.

15. Pemrograman dan Implementasi Komputasi Numerik

  • Bahasa Pemrograman: Menggunakan bahasa pemrograman seperti Python, MATLAB, atau C++ untuk menerapkan metode komputasi numerik.
  • Penggunaan Perangkat Lunak Numerik: Penggunaan paket perangkat lunak numerik seperti NumPy (Python), SciPy (Python), dan MATLAB untuk menyelesaikan masalah komputasi numerik.

16. Penerapan Komputasi Numerik di Dunia Nyata

  • Pemodelan Fisika dan Teknik: Penggunaan metode numerik untuk menyelesaikan masalah dalam bidang teknik (misalnya, pemodelan struktur, dinamika fluida).
  • Keuangan: Aplikasi dalam menghitung risiko, optimasi portofolio, dan prediksi harga pasar.
  • Ilmu Data dan Pembelajaran Mesin: Penggunaan metode numerik dalam analisis data, optimasi model, dan algoritma pembelajaran.

Mata kuliah ini menggabungkan teori matematika dan teknik pemrograman untuk memecahkan masalah nyata dengan menggunakan pendekatan numerik yang efisien dan akurat.